Médias e medianas
Vamos dar um passo adiante. Apesar de conhecermos as probabilidades do jogo, há uma incerteza relevante sobre nossa sorte ou azar ao longo das rodadas. E se fosse cobrado um “pedágio” para participar de 100 rodadas deste jogo tão favorável, qual o valor máximo que se deve pagar para participar? A distribuição da riqueza acumulada segue o padrão do seguinte gráfico:
Com frequência rara o patrimônio acumulado será gigante. Com maior frequência o patrimônio acumulado será bem mais moderado. A curva de distribuição da riqueza acumulada é concentrada devido a poucos e infrequentes casos de vitórias sucessivas. Se nós pagarmos o valor da média da distribuição dos retornos acumulados para participar do jogo, vamos pagar muito mais do que o devido, porque a média não é um cenário comum, mas sim o ponto médio entre o resultado de cenários raros e de cenários comuns. Ser a média, no caso, é raro! Poucos sortudos acumulam uma fração gigante do somatório de todos os casos da distribuição (alguém que ganhar todas as vezes, por exemplo). Um critério mais razoável para calcular quanto vale o “pedágio” para participar no jogo é o seguinte: dado que não sabemos se seremos sortudos ou azarados, qual resultado tem 50% de chance de acontecer? É o que se chama de mediana. No nosso exemplo, a mediana é o resultado de ganhar 80 rodadas e perder 20 rodadas. Como não sabemos de antemão se nós seremos sortudos ou azarados ao longo das 100 rodadas, o máximo que racionalmente se pode pagar para participar do jogo é o resultado que a mediana trará, e não a média. Se formos sortudos, ganharemos um valor maior que a mediana, e se formos azarados, o contrário.
A diferença de valores é significativa. Pode parecer só retórica, consequência da escolha de um jogo hipotético irreal, mas não é. O gráfico apresentado utilizou premissas bastante similares às da vida de muitos indivíduos (para os curiosos, leiam a nota de rodapé).1 Processos exponenciais (resultado de uma sequência de multiplicações) favorecem o aparecimento deste padrão. O que poderia ter importância marginal se nosso horizonte fosse curto passa a ser relevante. Sempre bom lembrar, portanto, que, por melhor que pareça o investimento no melhor dos casos, deve-se aplicar uma dose de ceticismo para evitar “pagar caro”. Caso contrário será preciso contar com a sorte. E se planejar para precisar de sorte é, digamos, pouco defensável.
Trata-se de 200.000 simulações de 40 rodadas, começando com um capital inicial de R$100.000,00, de uma distribuição normal com média de 8% e desvio-padrão de 23%, com um risco adicional de haver uma chance de 2,5% de a cada ano perder-se 50% do patrimônio. 40 anos é o período médio em que há acumulação de patrimônio, como dos 25 aos 65 anos de idade. 8% ao ano líquido de tributos e inflação é um histórico bem-sucedido de rentabilidade. E assumir que a cada 40 anos há uma chance de sofrermos uma perda de metade do patrimônio por alguma catástrofe qualquer é um reconhecimento pequeno dos riscos da vida.↩︎